Maxwell's Equations and Wave Propagation

電磁波の基本のき

電磁波は電界と磁界を伴う波動。速度 $c$、周波数 $f$、波長 $\lambda$ の関係は、

$$c = f \lambda$$

電磁波のスペクトルを周波数が低い方から並べると、電波 → 赤外線 → 可視光線 → 紫外線 → X線。電波の定義は3005 MHz以下の電磁波（ただし定義は文脈で変わるんだよね）。

伝送線路の電圧や電流を表す式に現れる $e^{-j\beta z}$ は、$z$ 軸の正方向に $v = \omega/\beta$ で伝搬するひとつの波を表している。$e^{-\alpha z}$ の $\alpha$ は単位長あたりの減衰を意味する。

位相定数 $\beta$ は単位長あたりの位相回転で、波長との関係は $\beta = 2\pi/\lambda$。

構成方程式

電磁波を記述する物理量として、電界 $\mathbf{E}$ [V/m]、電束密度 $\mathbf{D}$ [C/m²]、磁界 $\mathbf{H}$ [A/m]、磁束密度 $\mathbf{B}$ [T] がある。これらを結びつけるのが構成方程式。

$$\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}, \qquad \mathbf{B} = \mu \mathbf{H}, \qquad \mathbf{J} = \mathbf{J}_0 + \sigma \mathbf{E}$$

$\varepsilon$ は誘電率 [F/m]、$\mu$ は透磁率 [H/m]、$\sigma$ は導電率 [S/m]。$\mathbf{J}_0$ は外部から印加された電流密度。

媒質の分類

媒質によって $\varepsilon$、$\mu$、$\sigma$ の値が変わる。

真空 — $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}$ F/m、$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ H/m、$\sigma = 0$。全ての基準。

無損失誘電体 — $\varepsilon = \varepsilon_s \varepsilon_0$（$\varepsilon_s$ は比誘電率）、$\mu = \mu_0$、$\sigma = 0$。ガラスとかポリエチレンとか。電磁波は減衰せずに伝搬するけど、真空より速度が遅くなり波長が短くなる。

完全導体 — $\sigma = \infty$。電磁波は内部に侵入できない。

損失を持つ媒質 — $\sigma \neq 0$。電界により導電電流 $\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$ が流れて、電磁波が運ぶエネルギーが熱（ジュール熱）として消費される。

マクスウェル方程式（微分形）

電磁波の全てを支配する4つの式。

拡張されたアンペアの法則

$$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$$

磁界の循環分（回転）は電流密度と電束密度の時間変化の和に等しい。$\partial \mathbf{D}/\partial t$ が変位電流と呼ばれる項で、マクスウェルが付け加えた。これがないと電磁波は存在しない。$\mathbf{J}$ は伝導電流。

ファラデーの電磁誘導の法則

$$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$

磁束密度の時間変化はその周りに電界を誘導する。マイナス符号はレンツの法則（変化を妨げる方向に誘導される）に対応。

電束密度のガウスの法則

$$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$$

ある閉曲面を貫く $\mathbf{D}$ の総量は、その閉曲面内の電荷 $\rho$ に等しい。

磁束密度のガウスの法則

$$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$

磁力線は連続な閉曲線。磁気単極子（モノポール）は存在しない。

真空中の波動方程式

真空中（$\varepsilon = \varepsilon_0$、$\mu = \mu_0$、$\sigma = 0$、$\rho = 0$）で角周波数 $\omega$ の電磁波を考える。マクスウェル方程式のフェーザ表示は、

$$\nabla \times \dot{\mathbf{H}} = j\omega\varepsilon_0 \dot{\mathbf{E}}, \qquad \nabla \times \dot{\mathbf{E}} = -j\omega\mu_0 \dot{\mathbf{H}}$$ $$\nabla \cdot \dot{\mathbf{E}} = 0, \qquad \nabla \cdot \dot{\mathbf{H}} = 0$$

ベクトル公式 $\nabla \times \nabla \times \dot{\mathbf{E}} = \nabla(\nabla \cdot \dot{\mathbf{E}}) - \nabla^2 \dot{\mathbf{E}}$ を使って、$\nabla \cdot \dot{\mathbf{E}} = 0$ から第1項が消えて、

$$\nabla^2 \dot{\mathbf{E}} + \omega^2 \varepsilon_0 \mu_0 \dot{\mathbf{E}} = 0$$

$k_0^2 = \omega^2 \varepsilon_0 \mu_0$ とおくと、

$$\nabla^2 \dot{\mathbf{E}} + k_0^2 \dot{\mathbf{E}} = 0$$

これがヘルムホルツ方程式。真空中の波数は $k_0 = \omega\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}$。

平面波の解

電界が $x$ 成分のみで $z$ 軸正方向に伝搬する平面波 $\dot{\mathbf{E}} = [\dot{E}_x(z),\, 0,\, 0]$ を考えると、波動方程式は、

$$\frac{d^2 \dot{E}_x}{dz^2} + k_0^2 \dot{E}_x = 0$$

解は $\dot{E}_x(z) = \dot{E}_1 e^{-jk_0 z} + \dot{E}_2 e^{jk_0 z}$。第1項が $+z$ 方向への進行波、第2項が $-z$ 方向への進行波。片方だけ伝搬する場合は $\dot{E}_2 = 0$。

磁界はマクスウェル方程式から求めると、

$$\dot{H}_y(z) = \frac{\dot{E}_1}{\eta_0} e^{-jk_0 z}$$

$\eta_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = 120\pi \approx 377$ [$\Omega$] が真空の波動インピーダンス。

瞬時値表現

フェーザ $\dot{E}$ から瞬時値への変換は $\mathrm{Re}[\sqrt{2}\,\dot{E}\, e^{j\omega t}]$。実効値が $E_1$ のとき、

$$E_x(z, t) = \sqrt{2}\, E_1 \cos(\omega t - k_0 z)$$ $$H_y(z, t) = \sqrt{2}\, \frac{E_1}{\eta_0} \cos(\omega t - k_0 z)$$

電界と磁界が同位相で、互いに直交し、進行方向とも直交する。

ポインティング電力

電磁波が運ぶ電力密度（エネルギーの流れ）。

$$\mathbf{P} = \mathrm{Re}\{\dot{\mathbf{E}} \times \dot{\mathbf{H}}^*\} = [0,\, 0,\, P_z]$$ $$P_z = \frac{|\dot{E}_1|^2}{\eta_0} \quad [\text{W/m}^2]$$

無損失誘電体中の電磁波

誘電率 $\varepsilon = \varepsilon_s \varepsilon_0$、透磁率 $\mu_0$、導電率 $\sigma = 0$ の無損失誘電体。マクスウェル方程式は真空の $\varepsilon_0$ を $\varepsilon_s \varepsilon_0$ で置き換えるだけ。

波数は $k = k_0 \sqrt{\varepsilon_s}$。真空の波数 $k_0$ より大きい。

伝搬速度は $v = c / \sqrt{\varepsilon_s}$。真空の光速 $c$ より遅くなる。

波長は $\lambda = \lambda_0 / \sqrt{\varepsilon_s}$。真空の波長 $\lambda_0$ より短くなる。

真空と誘電体中で周波数は同じ。変わるのは波長と速度。

損失性媒質

導電率 $\sigma \neq 0$ の媒質では、アンペアの法則が変わる。

$$\nabla \times \dot{\mathbf{H}} = \sigma \dot{\mathbf{E}} + j\omega\varepsilon \dot{\mathbf{E}} = j\omega\varepsilon\left(1 - j\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}\right)\dot{\mathbf{E}}$$

$\varepsilon$ を複素誘電率 $\varepsilon(1 - j\sigma/\omega\varepsilon)$ で置き換えたと解釈できる。

波数は複素数になって $k = \omega\sqrt{\varepsilon\mu} = \beta - j\alpha$。$\beta$ は位相定数、$\alpha$ は減衰定数。

電界の解は $\dot{E}_x(z) = \dot{E}_1 e^{-jkz} = \dot{E}_1 e^{-\alpha z} e^{-j\beta z}$。$e^{-\alpha z}$ が振幅の指数的減衰を表す。

電磁波が媒質に浸透する目安として表皮の深さ（skin depth）$\delta_s$ が用いられる。

$$\delta_s = \frac{1}{\alpha} = \sqrt{\frac{2}{\omega\mu_0\sigma}}$$

良導体（$\sigma/\omega\varepsilon \gg 1$）だと $\delta_s$ はめちゃくちゃ小さくなって、電磁波はほぼ表面だけを伝わる。これが高周波における表皮効果。←こいつのせいで電磁波工学が嫌いになった。