Moving Coil Meters and RMS

電流計や電圧計の中身がどうなっているかという話と、交流で「実効値」と呼ばれるものが何なのかという話。どっちもフレミングの左手の法則と積分で片付く。

可動コイル型計器

磁束密度 $B$ の永久磁石の間にコイルを置いて、電流 $I$ を流すとコイルが回転する。フレミングの左手の法則。電流 → 磁場 → 力。

電流 $I$ が流れる長さ $b$ の導体が磁束密度 $B$ の中にあるとき、導体の単位長さあたりにかかる力は、

$$f = IB \quad [\text{N/m}]$$

（$\mathbf{I} \perp \mathbf{B}$ のとき。一般には $|\mathbf{F}| = |\mathbf{I}||\mathbf{B}|\sin\theta$。）

コイルの縦の長さが $b$ なら、片側の導体にかかる力は $F = IBb$。コイルの横幅が $a$ で、回転軸から導体までの距離が $a/2$ だから、トルクは、

$$T = \frac{a}{2} \cdot F \cdot 2 = aF = aIBb$$

コイルが $n$ 回巻きなら、

$$T = nabIB \quad [\text{N·m}]$$

このトルクをバネの制動トルク $T_s = k\theta$ と釣り合わせる。$T = T_s$ のとき、

$$nabIB = k\theta \quad \Longrightarrow \quad \theta = \frac{nabIB}{k}$$

$\theta \propto I$。偏転角が電流に比例する。だから目盛りが等間隔になる。これが可動コイル型計器の原理で、アナログ電流計の中身はまさにこれ。

消費電力と実効値

交流回路で「消費電力」を考えるとき、問題になるのは「同じ電力を消費する直流電流はいくらか」。これが実効値（RMS: Root Mean Square）。

抵抗 $R$ に時間変化する電流 $i(t)$ が流れるとき、消費電力の瞬時値は $p = i^2(t) R$。1周期 $T$ にわたる平均電力は、

$$P = \frac{1}{T}\int_0^T i^2(t)\, R\, dt = R \cdot \frac{1}{T}\int_0^T i^2(t)\, dt$$

この平均電力が $P = I^2 R$ と等しくなるような $I$ を実効値と定義する。

$$I = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T i^2(t)\, dt}$$

Root（平方根）of Mean（平均）of Square（二乗）。名前がそのまま定義。

正弦波の実効値

$i(t) = I_m \sin\omega t$ のとき、

$$I^2 = \frac{1}{T}\int_0^T I_m^2 \sin^2\omega t\, dt = \frac{I_m^2}{T}\int_0^T \frac{1 - \cos 2\omega t}{2}\, dt$$

$\cos 2\omega t$ の1周期積分はゼロだから、

$$I^2 = \frac{I_m^2}{T} \cdot \frac{T}{2} = \frac{I_m^2}{2}$$ $$I = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \approx 0.707\, I_m$$

家庭のコンセントが「100V」というのは実効値のこと。ピーク電圧は $100\sqrt{2} \approx 141$ V。

平均値

実効値とは別に、整流後の平均値も計測で使う。正弦波の正の半周期の平均は、

$$I_{\text{av}} = \frac{1}{T/2}\int_0^{T/2} I_m \sin\omega t\, dt = \frac{2I_m}{\pi} \approx 0.637\, I_m$$

実効値と平均値の比を波形率（form factor）と呼ぶ。正弦波なら $\frac{I_m/\sqrt{2}}{2I_m/\pi} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \approx 1.11$。可動コイル型計器は平均値に応答するけど、目盛りは実効値で振ってある。正弦波を前提にして波形率1.11で換算してるから、波形が歪むと誤差が出る。

三角波の実効値

正弦波以外のパターンも見ておく。ピーク値 $I_m$ の三角波は線形に上がって線形に下がるから、

$$I = \frac{I_m}{\sqrt{3}} \approx 0.577\, I_m$$

波形によって実効値とピーク値の比（クレストファクタ）が変わる。正弦波は $\sqrt{2} \approx 1.414$、三角波は $\sqrt{3} \approx 1.732$、矩形波は $1$。