Nishiyama Chart

18歳のころ西山教授に叩き込まれた対数チャートがある。数直線の上に 1, 2, 3, ... 10, 20, 50, 100 と並べて、下に $\log_{10}$ を書く。ただそれだけ。ただそれだけなんだけど、これが染み付くと桁感覚が変わる。

覚える数は3つだけでいい。

$$\log 2 \approx 0.301, \quad \log 3 \approx 0.477, \quad \log 7 \approx 0.845$$

1から10の全整数の対数がここから出る。

なぜ3つで足りるか

1から10の整数に現れる素数は 2, 3, 5, 7 の4つ。なんだけど $5 = 10/2$ で表すことができるから、

$$\log 5 = \log \frac{10}{2} = 1 - \log 2$$

10進対数を使っている以上、5は2の補数として自動的に決まる。独立な原子は 2, 3, 7 の3つ。

残りは対数の加法性 $\log(ab) = \log a + \log b$ と素因数分解でぜんぶ組み立てられる。$\log 4 = 2\log 2 = 0.602$。$\log 6 = \log 2 + \log 3 = 0.778$。$\log 8 = 3\log 2 = 0.903$。$\log 9 = 2\log 3 = 0.954$。$\log 1 = 0$ と $\log 10 = 1$ は自明。

一般の正整数 $n$ に対しても同じ話で、$n$ を素因数分解して $2, 3, 5, 7$ だけで書ける数なら三原子で完全に分解できる。こういう数を7-smooth数（Hamming number）と呼ぶ。バビロニアの60進法（$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$）で扱いやすかった数と本質的に同じ集合。

丸め誤差の構造

3桁に丸めたことの代償を定量的に見る。各原子の丸め誤差を $\delta$ で定義する。

$$\delta_2 = 0.301 - \log 2 = 0.301 - 0.30103\ldots \approx -3.0 \times 10^{-5}$$ $$\delta_3 = 0.477 - \log 3 = 0.477 - 0.47712\ldots \approx -1.2 \times 10^{-4}$$ $$\delta_7 = 0.845 - \log 7 = 0.845 - 0.84510\ldots \approx -9.8 \times 10^{-5}$$

3つとも $10^{-4}$ 以下に収まっているが、$\delta_3$ と $\delta_7$ は $\delta_2$ の3〜4倍ある。$\delta_2$ だけが突出して小さい。$0.301$ という丸めが $\log 2 = 0.30103\ldots$ に対してほとんど誤差を生まないのは、ちょっとした幸運。

7-smooth数 $n = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^d \cdot 7^c$ の概算誤差は、$\log 5 = 1 - \log 2$ の変換を代入すると線形結合で書ける。

$$\Delta(n) = (a - d)\,\delta_2 + b\,\delta_3 + c\,\delta_7$$

定数項 $d$（$\log 10$ の回数）は整数だから丸め誤差に寄与しない。$\Delta(n)$ を見れば、どの数がどれくらいずれるか推定前に見積もれる。

$k = 10$ で比較すると、$10\delta_2 \approx -3.0 \times 10^{-4}$ に対して $10\delta_3 \approx -1.2 \times 10^{-3}$、$10\delta_7 \approx -9.8 \times 10^{-4}$。$\delta_3$ と $\delta_7$ の直線が寄り添って落ちていって、$\delta_2$ だけ水平に近い。冪が10を超えるあたりから $\delta_3$、$\delta_7$ 由来の誤差は小数第3位に影響し始める。

5の補数と誤差の符号

$\log 5 = 1 - \log 2$ は三原子の体系で要になる等式なんだけど、誤差の振る舞いがちょっと面白い。

$1 - 0.301 = 0.699$ で、真値は $\log 5 = 0.69897\ldots$ だから、

$$\Delta(\log 5) = 0.699 - 0.69897\ldots = +3.0 \times 10^{-5}$$

符号がプラス。$\delta_2 \approx -3.0 \times 10^{-5}$ に対して $\Delta(\log 5) = -\delta_2 \approx +3.0 \times 10^{-5}$。補数演算で符号が反転している。

これは偶然ではなくて、$\log 5 = 1 - \log 2$ の構造から必然的に出てくる。1は整数だから丸め誤差ゼロ。$\log 2$ を引くから $\delta_2$ の符号がひっくり返る。$|\delta_2|$ が $3 \times 10^{-5}$ と極めて小さいので、$\log 2$ 経由で $\log 5$ を出しても精度はほぼ完璧。「5は覚えなくていい」の根拠はここにある。

log 3 を4桁にする

$\delta_3$ がボトルネックなら、そこだけ精度を上げればいい。$\log 3 \approx 0.4771$ とすると、

$$\delta_3' = 0.4771 - 0.47712\ldots \approx -2.1 \times 10^{-5}$$

$\delta_2$ と同じオーダーまで落ちる。暗記コストはたった1桁。0.477 → 0.4771。$3^{10}$ の誤差が $1.2 \times 10^{-3}$ から $2.1 \times 10^{-4}$ に変わるから、1桁の投資で精度が約6倍になる。

全体を均一に4桁にする必要はない。$\delta_2$ はすでに十分小さいから放っておけばいい。ボトルネックだけ叩く。工業数学のセンスはこういうところに出る。ついでに $\log 7 \approx 0.8451$ にしておけば $\delta_7$ も $-9.8 \times 10^{-6}$ に落ちるけど、そこまでやるかは好みの問題。

7-smooth数の密度

1から100までで7-smooth数は46個。約46%。半分弱の整数が三原子だけで完全にカバーできる。

ただし7-smooth数の密度は $n$ が大きくなると急速に減少する。$n$ までの7-smooth数の個数は $O((\log n)^4)$ で、$n$ に比べると全然増えない。1000まで広げると密度は数%に落ちる。

じゃあ非7-smooth数はお手上げかというと、そうでもない。

第4の原子: ln 2

三原子の体系を10進対数の外に拡張するために、もうひとつだけ数を覚える。

$$\ln 2 \approx 0.693$$

$\delta_{\ln 2} = 0.693 - 0.69315\ldots \approx -1.5 \times 10^{-4}$。$\delta_3$ と同程度の丸め精度。

$\ln 2$ を第4の原子として仕込むと何が起こるかというと、まず $\ln 10$ が導出できる。

$$\ln 10 = \frac{\ln 2}{\log_{10} 2}$$

底の変換公式そのもの。$\log_{10} 2$ は三原子のひとつだから、$\ln 2$ さえ覚えれば $\ln 10$ は割り算ひとつで出る。

$$\ln 10 \approx \frac{0.693}{0.301} \approx 2.302$$

真値は $2.30259\ldots$ で、誤差 $-2.6 \times 10^{-4}$。$\delta_{\ln 2}$ と $\delta_2$ の両方が伝播するけど、実用には十分な精度。

非7-smooth数への拡張

$\ln 10$ が手に入ると、テイラー展開で非7-smooth数を攻められるようになる。小さい $\varepsilon$ に対して、

$$\log_{10}(1 + \varepsilon) \approx \frac{\varepsilon}{\ln 10} \approx \frac{\varepsilon}{2.302}$$

これは $\log_{10} e \approx 0.4343$ を掛けるのと同じこと。$\log_{10} e = 1 / \ln 10 = \log_{10} 2 / \ln 2 \approx 0.301 / 0.693 \approx 0.4343$。全部4つの原子から出てくる。

手順はこう。対象の数に近い7-smooth数を見つけて、三原子で対数を出して、残りの比率を $\ln 10$ で補正する。

$\log 11$ をやってみる。$11 = 10 \times 1.1$ と見て、

$$\log 11 = 1 + \log(1.1) \approx 1 + \frac{0.1}{2.302} \approx 1 + 0.0434 = 1.0434$$

真値は $1.04139\ldots$ で、誤差 $+2.0 \times 10^{-3}$。1次近似だけだとちょっと荒い。$\varepsilon = 0.1$ は「小さい」と言い張るには少し大きすぎる。

2次まで取ると精度が跳ね上がる。$\log(1 + \varepsilon) \approx (\varepsilon - \varepsilon^2/2) / \ln 10$ だから、

$$\log(1.1) \approx \frac{0.1 - 0.005}{2.302} = \frac{0.095}{2.302} \approx 0.04126$$

$\log 11 \approx 1.04126$。真値 $1.04139\ldots$ に対して誤差 $-1.3 \times 10^{-4}$。三原子本体と同等の精度圏内に入った。

$\log 13$ も同じ要領でいける。$13 = 14 \times (13/14)$ で、$\log 14 = \log 2 + \log 7 = 0.301 + 0.845 = 1.146$。$\varepsilon = -1/14 \approx -0.071$ で2次補正すると $\log 13 \approx 1.1139$。真値 $1.11394\ldots$ に対して誤差 $-7.6 \times 10^{-5}$。$\varepsilon$ が小さいほど近似は良くなる。

近い7-smooth数が見つかるかどうかが腕の見せどころで、ここは慣れの領域。

半減期と倍増時間

$\ln 2$ には対数暗算とは別の、直接的な出番がある。

RC回路の50%減衰時間は $t_{1/2} = \tau \ln 2 \approx 0.693\tau$。放射性崩壊の半減期は $t_{1/2} = \ln 2 / \lambda \approx 0.693 / \lambda$。複利の倍増時間は $T = \ln 2 / r \approx 0.693 / r$。どれも指数関数 $e^{-\lambda t}$ や $e^{rt}$ が「2倍」「半分」になる点を求める問題で、答えに $\ln 2$ が現れる。

金融で有名な72の法則（倍増年数 $\approx 72/r\%$）は $\ln 2 / r$ の近似にすぎない。年利7%なら $\ln 2 / 0.07 = 0.693 / 0.07 = 9.90$ 年。72の法則だと $72/7 = 10.29$ 年。$\ln 2$ から直接計算したほうが正確なのは当然。

底の変換

4つの原子が揃うと、任意の底への変換が自在になる。

$\log_2 x = \log_{10} x / \log_{10} 2$。三原子で $\log_{10} x$ を出して、0.301 で割れば2進対数。$\log_2 1024 = 3.010 / 0.301 = 10.00$。情報理論でビット数を見積もるのに使える。

$\ln x = \log_{10} x \times \ln 10$。三原子で $\log_{10} x$ を出して、2.302 を掛ければ自然対数。$\ln 100 = 2.000 \times 2.302 = 4.605$。真値 $4.60517\ldots$ に対して誤差 $-5 \times 10^{-4}$。微積分に接続したい場面で使える。

逆方向も同じ話で、$\log_{10} x = \ln x / \ln 10 = \ln x \times \log_{10} e$。化学や物理で自然対数が先に出てきた場合、$\log_{10} e \approx 0.4343$ を掛ければ常用対数に戻せる。

整理すると、4つの原子の体系はこうなっている。

$$\underbrace{\log 2, \quad \log 3, \quad \log 7}_{\text{三原子: 常用対数の基盤}} \quad + \quad \underbrace{\ln 2}_{\text{第4の原子: 底の橋渡し}}$$

三原子が $\log_{10}$ の世界をカバーして、$\ln 2$ が $\ln$ と $\log_2$ への扉を開く。$\ln 10 = \ln 2 / \log 2$ は独立に覚える必要がない。4つの数だけで、工学で遭遇するほぼすべての対数計算が暗算の射程に入る。

暗算してみる

$\log 360$。$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 10$。

$$\log 360 = 2\log 2 + 2\log 3 + 1 = 0.602 + 0.954 + 1 = 2.556$$

真値は $2.55630\ldots$。誤差 $\Delta = 2\delta_2 + 2\delta_3 \approx -3.0 \times 10^{-4}$。有効数字3桁に収まっている。

$\log 7200$。$7200 = 2^5 \times 3^2 \times 5^2 = 2^3 \times 3^2 \times 10^2$。

$$\log 7200 = 3\log 2 + 2\log 3 + 2 = 0.903 + 0.954 + 2 = 3.857$$

真値は $3.85733\ldots$。誤差 $3\delta_2 + 2\delta_3 \approx -3.3 \times 10^{-4}$。

$\log 170$。170は非7-smooth（$170 = 2 \times 5 \times 17$）。近くの7-smooth数を探すと $168 = 2^3 \times 3 \times 7$ がある。$\log 168 = 3\log 2 + \log 3 + \log 7 = 0.903 + 0.477 + 0.845 = 2.225$。$170/168 = 85/84 \approx 1.012$ だから、

$$\log 170 \approx 2.225 + \frac{0.012}{2.302} \approx 2.225 + 0.005 = 2.230$$

真値は $2.23045\ldots$。1次補正だけで誤差 $-3 \times 10^{-4}$。三原子 + 第4の原子、合計4つの暗記でここまで出る。

log計算は暗記ゲーだ。九九みたいな感じだとおもう。まぁ数学、物理学、工学で使い分ける必要があるんだけどね。