February 24, 2026

qkit2: Implied Volatility Surface

BSMの逆問題からSVI裁定フリーパラメトリゼーション、ニューラルスムージングまで

pt.1ではBSMモデルを「順方向」に解いた。パラメータ $(S, K, T, r, \sigma)$ からオプション価格 $C$ を計算するやつ。pt.2ではその逆問題を解く。市場で観測されたオプション価格 $C_{\text{mkt}}$ から $\sigma$ を逆算する。この逆算された $\sigma$ がインプライド・ボラティリティ（IV）で、ストライク $K$ と満期 $T$ の2次元グリッド上にプロットした3次元曲面がIVサーフェス。

IVサーフェスは「市場がどんなリスクを織り込んでいるか」の地図みたいなもの。ここでは古典的なニュートン法による逆算から、Gatheral & Jacquier (2014) の裁定フリーSSVI、Ackerer et al. (NeurIPS 2020) のニューラルスムージングまで整理していく。

1. インプライド・ボラティリティの定義と逆算

BSM価格関数 $C_{\text{BSM}}(S, K, T, r, \sigma)$ は $\sigma$ に対して狭義単調増加。だから市場観測価格 $C_{\text{mkt}}$ が与えられたとき、以下を満たす $\sigma_{\text{imp}}$ が一意に存在する。

C_{\text{BSM}}(S, K, T, r, \sigma_{\text{imp}}) = C_{\text{mkt}}

この $\sigma_{\text{imp}} = \sigma_{\text{imp}}(K, T)$ がインプライド・ボラティリティ。BSMの仮定（ $\sigma$ 一定）が正しければ $\sigma_{\text{imp}}$ は $K, T$ に依存しないはずだけど、現実にはストライクと満期の両方に依存する。これがスマイル/スキューの起源。

ニュートン法（Vega利用）

BSM価格の $\sigma$ に対する微分はVega。

\frac{\partial C_{\text{BSM}}}{\partial \sigma} = \mathcal{V} = S\, n(d_1)\, \sqrt{T} > 0

$\mathcal{V} > 0$ が常に成立するから、ニュートン法の反復が定義できる。

\sigma_{n+1} = \sigma_n - \frac{C_{\text{BSM}}(\sigma_n) - C_{\text{mkt}}}{\mathcal{V}(\sigma_n)}

収束は二次（quadratic）。初期値 $\sigma_0 = 0.3$ くらいから出発して、普通4〜6回の反復で $|\sigma_{n+1} - \sigma_n| < 10^{-8}$ に達する。ただしDeep OTM/ITMでは $\mathcal{V} \to 0$ になってニュートン法が発散するから、 $\mathcal{V} < 10^{-12}$ になったらBrentqにフォールバックする。

Brentq法

二分法と逆二次補間のハイブリッド。 $\sigma \in [10^{-3},\, 5.0]$ の区間で残差関数のゼロ点を求める。

f(\sigma) = C_{\text{BSM}}(S, K, T, r, \sigma) - C_{\text{mkt}} = 0

収束は超線形（superlinear）。ニュートン法より遅いけど初期値に依存せず常に収束する。実用の第一選択。

プロダクション環境では、Peter Jaeckelの "Let's Be Rational" アルゴリズムが標準になっている。正規化されたBlack価格からIVへの合理関数近似を使って、 $O(1)$ で機械精度のIVを返す。

手法の比較をざっくりまとめると、ニュートン法は収束が二次で速いけど初期値依存。Brentqは超線形で安定性が非常に高い。Jaeckelは $O(1)$ で安定性も最高、プロダクション向き。

2. IVサーフェスの経験的事実

IVサーフェスの理論的分析では、以下の座標変換が標準。

w(k, \tau) = \sigma_{\text{imp}}^2(k, \tau) \cdot \tau

これがトータルバリアンス。

k = \ln\frac{K}{F}

これがログモネイネス。 $F = S\, e^{(r-q)\tau}$ はフォワード価格、 $\tau = T - t$ は残存期間。トータルバリアンスは裁定条件の記述に自然な座標で、SVI/SSVIもこの座標で定義される。

ボラティリティ・スマイル

固定 $\tau$ でのスライス $k \mapsto \sigma_{\text{imp}}(k)$ は典型的にU字型。ATM（ $k = 0$ ）が最小で、OTM方向（ $|k|$ が大きい）で上昇する。

数学的には、リターン分布のファットテール（BSMの正規分布よりも裾が重い）がスマイルを生む。Backus et al. (1997) の近似がわかりやすい。

\sigma_{\text{imp}}(k) \approx \sigma_{\text{ATM}} + \frac{1}{6}\kappa_3\, k + \frac{1}{24}(\kappa_4 - 3)\, k^2

$\kappa_3$ はリスク中立歪度（skewness）、 $\kappa_4$ はリスク中立尖度（kurtosis）。 $\kappa_4 > 3$ （ファットテール）がスマイルの曲率を生んで、 $\kappa_3 < 0$ （負の歪度）がスキューを生む。

ボラティリティ・スキュー

株式市場では $k < 0$ （OTMプット）のIVが $k > 0$ （OTMコール）より高い。スキューの勾配は、

\mathcal{S} = \left.\frac{\partial \sigma_{\text{imp}}}{\partial k}\right|_{k=0}

S&P 500だと $\mathcal{S} \approx -0.2$ くらい。短い満期ほどスキューは急峻になって、

\mathcal{S}(\tau) \sim \tau^{H - 1/2} \qquad \text{as } \tau \to 0

$H$ はハースト指数。BSMでは $H = 1/2$ でスキューは定数だけど、ラフボラティリティモデルでは $H \approx 0.1$ で $\mathcal{S} \sim \tau^{-0.4}$ （爆発する）。これはけっこう面白い。

タームストラクチャー

ATM IVの満期構造 $\tau \mapsto \sigma_{\text{ATM}}(\tau)$ について。通常はコンタンゴ（ $\sigma_{\text{ATM}}(\tau_1) < \sigma_{\text{ATM}}(\tau_2)$ for $\tau_1 < \tau_2$ ）だけど、ストレス時にはバックワーデーション（短期IVが長期を上回る）になる。決算発表やFOMCの前後で短期IVが局所的に急上昇するのもよく見る。

3. 裁定フリー条件

IVサーフェスが経済学的に意味を持つには、静的裁定が排除されている必要がある。

バタフライ裁定

コール価格 $C(K)$ がストライク $K$ の凸関数でなければならない。同値条件として、リスク中立確率密度 $q(K)$ が非負。

q(K) = e^{r\tau}\, \frac{\partial^2 C}{\partial K^2} \geq 0

トータルバリアンスの言葉だと、Gatheral (2006) の $g$ 関数が非負であること。

g(k) = \left(1 - \frac{k\, w'}{2w}\right)^2 - \frac{(w')^2}{4}\left(\frac{1}{w} + \frac{1}{4}\right) + \frac{w''}{2} \geq 0

$w = w(k)$ , $w' = dw/dk$ , $w'' = d^2w/dk^2$ 。

カレンダースプレッド裁定

トータルバリアンスが満期に対して単調増加。

\frac{\partial w(k, \tau)}{\partial \tau} \geq 0 \qquad \text{for all } k, \tau

「長い満期のオプションは短い満期より高い（等しい）トータルバリアンスを持つ」という話。トータルバリアンスプロットで等 $k$ 線が交差してはいけない。

Roger Lee のモーメント公式

IVの漸近的挙動（ $|k| \to \infty$ ）に対する上界を求める。

\limsup_{k \to +\infty} \frac{\sigma_{\text{imp}}^2(k)\, \tau}{k} \leq 2, \qquad \limsup_{k \to -\infty} \frac{\sigma_{\text{imp}}^2(k)\, \tau}{|k|} \leq 2

トータルバリアンスのウイングの傾きは最大で2。これを超えるとリスク中立分布のモーメントが発散してしまう。

4. SVI / SSVI パラメトリックモデル

Raw SVI (Gatheral, 2004)

各スライス（固定 $\tau$ ）のトータルバリアンスを5パラメータで表現する。

w(k) = a + b\left[\rho\,(k - m) + \sqrt{(k - m)^2 + \sigma^2}\right]

パラメータの意味をざっくり書くと、 $a$ はバリアンスのレベル（ $a + b\sigma\sqrt{1 - \rho^2} \geq 0$ ）、 $b \geq 0$ はウイングの傾き、 $\rho$ （ $-1 < \rho < 1$ ）はスキューで $\rho < 0$ ならプットスキュー、 $m$ はスマイルの中心位置、 $\sigma > 0$ はATM付近の曲率。

漸近的には、

w(k) \to a + b(1 \pm \rho)(k - m) \quad \text{as } k \to \pm\infty

右ウイングの傾きが $b(1 + \rho)$ 、左ウイングが $b(1 - \rho)$ 。Leeの上界から $b(1 + |\rho|) \leq 2/\tau$ が必要。

SVI-JWパラメトリゼーション

ATMの観測量で表現した等価形式で、トレーダーにとって直感的。パラメータは $\chi_{\text{JW}} = \{v_t, \psi_t, p_t, c_t, \tilde{v}_t\}$ 。 $v_t = \sigma_{\text{ATM}}^2\, \tau$ （ATMトータルバリアンス）、 $\psi_t$ （ATMスキュー）、 $p_t, c_t$ （プット/コール・ウイングの傾き）、 $\tilde{v}_t$ （最小バリアンス）。

SSVI: Surface SVI (Gatheral & Jacquier, 2014)

SVIをサーフェス全体に拡張して、裁定フリー条件を保証するやつ。

w(k, \theta_\tau) = \frac{\theta_\tau}{2}\left[1 + \rho\,\varphi(\theta_\tau)\, k + \sqrt{\left(\varphi(\theta_\tau)\, k + \rho\right)^2 + (1 - \rho^2)}\right]

$\theta_\tau = \sigma_{\text{ATM}}^2(\tau) \cdot \tau$ はATMトータルバリアンス。 $\varphi(\theta_\tau)$ はパワーロー関数で、

\varphi(\theta) = \frac{\eta}{\theta^\gamma\, (1 + \theta)^{1 - \gamma}}, \qquad \eta > 0,\; 0 < \gamma < 1

SSVIの決定的な利点は、3パラメータ $(\rho, \eta, \gamma)$ だけでサーフェス全体を記述して、裁定フリー条件が閉形式で検証可能なこと。

SSVI裁定フリー定理 (Gatheral & Jacquier, Theorem 4.2)

SSVIサーフェスがバタフライ裁定フリーであるための十分条件。

\varphi(\theta)\,(1 + |\rho|) < 4 \qquad \text{for all } \theta > 0

\varphi(\theta)^2\,(1 + |\rho|) \leq 4 \qquad \text{for all } \theta > 0

条件1はRoger Leeの上界 $b(1+|\rho|) \leq 2$ に対応していて、必要条件でもある（Lemma 4.2）。条件2はほぼタイト（almost tight）。

パワーロー $\varphi$ の場合、 $\gamma = 1/2$ のときSVI-JWパラメータが満期 $\tau$ に依存しない定数になるという特別な性質がある。

キャリブレーション

スライスごとのRaw SVIキャリブレーションの目的関数は、

\hat{\theta} = \arg\min_\theta \sum_{i=1}^{n} \left[w_{\text{SVI}}(k_i;\, \theta) - w_{\text{mkt}}(k_i)\right]^2

制約付き最適化でフィットする。SSVIの場合は $\theta_\tau$ をまずATMオプションからフィットして、次に $(\rho, \eta, \gamma)$ を全スライスに同時フィット。

5. Deep Smoothing: ニューラルIVサーフェス

Ackerer, Tagasovska & Vatter (NeurIPS 2020)

ニューラルネットワークを既存モデル（BSMやSSVI）の補正器として使うハイブリッドアプローチ。金融機関でプロダクション投入実績がある。

トータルバリアンスをこう分解する。

w_{\text{model}}(k, \tau) = f_{\text{NN}}(k, \tau;\, \mathbf{w}) \cdot w_{\text{prior}}(k, \tau)

$w_{\text{prior}}$ はBSMフラットボルやSSVIなど既存モデルで、サーフェスの大まかな形状を決定。 $f_{\text{NN}}$ は多層パーセプトロンで、正値出力（Softplus活性化）、Priorからの乖離を学習する。

裁定ペナルティ付き損失関数

\mathcal{L} = \mathcal{L}_{\text{price}} + \lambda_{\text{bf}}\, \mathcal{L}_{\text{butterfly}} + \lambda_{\text{cal}}\, \mathcal{L}_{\text{calendar}}

各項は、

\mathcal{L}_{\text{price}} = \sum_{i} \left[w_{\text{model}}(k_i, \tau_i) - w_{\text{mkt}}(k_i, \tau_i)\right]^2

\mathcal{L}_{\text{butterfly}} = \sum_{i} \left[\max\!\big(0,\, -g(k_i, \tau_i)\big)\right]^2

\mathcal{L}_{\text{calendar}} = \sum_{i} \left[\max\!\left(0,\, -\frac{\partial w}{\partial \tau}(k_i, \tau_i)\right)\right]^2

$g$ はセクション3のGatheral関数。自動微分（PyTorch autograd）で $w'$ , $w''$ , $\partial w / \partial \tau$ を計算する。 $\lambda_{\text{bf}}, \lambda_{\text{cal}}$ はソフト制約の強度。ハード制約ではないから完全な裁定フリーは保証されないけど、実用上は十分。

その他のアプローチ

Kelly et al. (2023) はIVサーフェスを画像と見なしてCNNでファクターを抽出した。行がモネイネス区間、列が満期区間、ピクセル値がIVという構成で、VAEで10次元の潜在表現に圧縮してMLPでオプション価格を予測する。

Chen et al. (2019) はIVサーフェスの時間的ダイナミクスをLSTM-Attentionで予測。フォゲットゲートで長期記憶、アテンション機構で入力特徴量の重要度を自動学習して、タイムスプレッドやバタフライスプレッドのシャープレシオを改善した。

VolNP (2025) はメタ学習ニューラルプロセスで、日ごとに異なるスパースなオプションクオートから完全なIVサーフェスを再構成する。SABR誘導の事前分布を組み込むことで、データが少ない局面でも安定する。

6. ラフ・ボラティリティとIVサーフェス

Gatheral, Jaisson & Rosenbaum (2018) は、対数ボラティリティの増分が分数ブラウン運動（fBM）に従って、ハースト指数 $H \approx 0.1$ であることを実証した。

\ln \sigma_t - \ln \sigma_s \sim |t - s|^H \qquad \text{for } H \approx 0.1

$H < 1/2$ は「ラフ」なパスを意味する。これによって、ATMスキューの短期爆発 $\mathcal{S}(\tau) \sim \tau^{H - 1/2}$ が説明できるし、ボラティリティの自己相関構造がパワーロー減衰することもわかる。BSM（ $H = 1/2$ 、スキュー一定）やHeston（ $H = 1/2$ 、スキュー一定）では説明不可能。

Rough Bergomiモデル

\frac{dS_t}{S_t} = \sqrt{V_t}\, dW_t^1

V_t = \xi_0(t)\, \mathcal{E}\!\left(\eta\int_0^t (t - s)^{H - 1/2}\, dW_s^2\right)

$\mathcal{E}$ はWick指数関数、 $\operatorname{Corr}(dW^1, dW^2) = \rho$ 。パラメータは $(H, \eta, \rho)$ の3つだけで、極めてパーシモニアス。

Romer (2022) はラフボラティリティモデルの特性関数をニューラルネットワークで近似して、1ミリ秒以内にサーフェス全体を計算可能にした。GPUなら数千のモデルをリアルタイムでキャリブレーションできる。

Pythonで書くとこうなる

IV逆算

from scipy.optimize import brentq
from quant.pricing.bsm import BSM

def implied_vol(C_mkt, S, K, T, r, option_type="call"):
    def residual(sigma):
        m = BSM(S=S, K=K, T=T, r=r, sigma=sigma)
        price = m.call_price() if option_type == "call" else m.put_price()
        return price - C_mkt
    return brentq(residual, 1e-3, 5.0, xtol=1e-8)

3Dサーフェス描画

import plotly.graph_objects as go

fig = go.Figure(data=go.Surface(
    z=iv_grid * 100, x=strikes, y=expiry_days,
    colorscale="Plasma",
))
fig.update_layout(scene=dict(
    xaxis_title="Strike ($)", yaxis_title="Days", zaxis_title="IV (%)"))

SVIフィッティング

from scipy.optimize import minimize
import numpy as np

def svi_raw(k, a, b, rho, m, sigma):
    return a + b * (rho * (k - m) + np.sqrt((k - m)**2 + sigma**2))

def calibrate_svi(k_data, w_data):
    def obj(p):
        return np.sum((svi_raw(k_data, *p) - w_data)**2)
    x0 = [0.04, 0.2, -0.3, 0.0, 0.1]
    bounds = [(None,None), (1e-6,None), (-0.999,0.999), (None,None), (1e-6,None)]
    return minimize(obj, x0, method="L-BFGS-B", bounds=bounds)

参考文献

Gatheral, J. (2004). "A parsimonious arbitrage-free implied volatility parameterization." Global Derivatives & Risk
Gatheral, J. & Jacquier, A. (2014). "Arbitrage-free SVI volatility surfaces." Quantitative Finance, 14(1), 59-71
Corbetta, J. et al. (2019). "Robust calibration and arbitrage-free interpolation of SSVI slices."
Lee, R. (2004). "The Moment Formula for Implied Volatility at Extreme Strikes." Mathematical Finance, 14(3), 469-480
Ackerer, D., Tagasovska, N. & Vatter, T. (2020). "Deep Smoothing of the Implied Volatility Surface." NeurIPS 2020
Kelly, B. et al. (2023). "Deep Learning from Implied Volatility Surfaces." SSRN:4531181
Chen, S. et al. (2019). "Forecasting Implied Volatility Smile Surface via Deep Learning." arXiv:1912.11059
Vuletic, M. & Cont, R. (2024). "VolGAN: A generative model for arbitrage-free IV surfaces." Applied Mathematical Finance, 31, 203-238
Wiedemann, R. et al. (2025). "Operator deep smoothing for implied volatility." ICLR 2025
Gatheral, J., Jaisson, T. & Rosenbaum, M. (2018). "Volatility is Rough." Quantitative Finance, 18(6), 933-949
Bayer, C., Friz, P. & Gatheral, J. (2016). "Pricing under rough volatility." Quantitative Finance, 16(6), 887-904
Romer, S.E. (2022). "Empirical analysis of rough and classical stochastic volatility models." Quantitative Finance
Bures, O. et al. (2025). "Volatility Modeling with Rough Paths: A Signature-Based Alternative." arXiv:2507.23392
Li, Y. et al. (2024). "Modeling IVS Using B-Splines with Time-Dependent Coefficients." Mathematics, 12(7), 1100
Backus, D. et al. (1997). "Accounting for Biases in Black-Scholes." Working paper
Jaeckel, P. (2015). "Let's Be Rational." Wilmott, 2015(75), 40-53